Чевианы треугольника

Чевиана

Определение

$AA_1$ — чевиана $\triangle ABC \iff A_1 \in BC$.

Использование

У $\triangle ABA_1$ и $\triangle ABC$ общая высота из $A$, значит $\dfrac{S_{ABA_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{BA_1}{BC}$.

Теорема Чевы

Если в $\triangle ABC$ чевианы $AA_1,BB_1,CC_1$ пересекаются в одной точке, то

$$\large AC_1\cdot BA_1\cdot CB_1 = C_1B\cdot A_1C\cdot B_1A.$$

---

Высота

Определение

$AH$ — высота $\triangle ABC \iff AH\perp BC,~H\in (BC)$.

Свойства

1. Высоты треугольника или их продолженния пересекаются в одной точке.

---

Медиана

Определение

$AM$ — медиана $\triangle ABC \iff M$ — середина $BC$.

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2 к 1, считая от вершины.

3. Медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника.

Дополнительное построение

$M$ — середина $AD$. Тогда $ABDC$ — параллелограмм.

---

Биссектриса

Определение

$AL$ — биссектриса $\triangle ABC \iff AL$ — биссектриса $\angle BAC,~L\in BC$.

Свойства

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

2. $\dfrac{LB}{AB}=\dfrac{LC}{AC}$.

Признак

$AL$ — биссектриса $\triangle ABC \impliedby \dfrac{LB}{AB}=\dfrac{LC}{AC}$.