Степень с рациональным показателем

Обозначение

$a^k$ — степень с основанием $a$ и показателем $k$; $a$ в степени $k$.

Определение

$a^k$, где $a > 0,~k=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}$ — это корень $\sqrt[n]{a^m}$.

Только положительное число можно представить в виде степени с рациональным показателем.

Свойства

В каждом свойстве $a,b > 0,~k,m\in\mathbb{Q}$.

1. $a^k \cdot a^m=a^{k+m}$

2. $\dfrac{a^k}{a^m}=a^{k-m}$

3. $a^k \cdot b^k=(a \cdot b)^k$

4. $\dfrac{a^k}{b^k}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^k$

5. $(a^k)^m=(a^m)^k=a^{k \cdot m}$

6. $a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}$

Степень с рациональным показателем как функция

$$\large f(x)=x^k,~~k=const,~k\in\mathbb{Q}$$

• Область определения $D(f)=(0;+\infty)$;

• Область значений $E(f)= (0;+\infty)$;

• Возрастает при $k>0$, убывает при $k<0$, немонотонная при $k=0$.