Парабола

Метод решения задач с параметром, сводящихся к квадратным уравнениям или неравенствам.

Постановка задачи

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых решения выражения

$$\large \alpha x^2+\beta x+\gamma \vee 0$$

располагаются определённым образом относительно чисел $x_i$.

Решение

1. Рассмотрение случая $\alpha=0$

2. Обозначение случая $\alpha \ne 0$

$f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ — кв.ф., график парабола;

$D=\beta^2-4\alpha\gamma$;

$x_{в}=-\dfrac{\beta}{2\alpha}$ — вершина параболы;

$f(x_i)=\alpha x_i^2+\beta x_i + \gamma$.

2.1. $D<0$

Определяется при каких $\alpha$ парабола удовлетворяет условию.

2.2. $D=0$

Определяется при каких $\alpha$ и $x_{в}$ парабола удовлетворяет условию.

2.3. $D>0$

2.3.1. $x_{в} \vee x_i$

Определяется при каких $\alpha\cdot f(x_i)$ парабола удовлетворяет условию.

3. Итоговый ответ

Все удовлетворяющие условию случаи объединяются в совокупность.