Аналитика

Постановка задачи

Найти все значения параметра $a\in A$, при каждом из которых выражение

$$\large F(\mathrm{\mathbf x},a)$$

имеет $k \in K$ различных решений.

Решение

1. Преобразование в совокупность

$$\large F(\mathrm{\mathbf x}, a) ~~(*) \iff \left[ \begin{array}{l} F_1(\mathrm{\mathbf{x}}, a) & (1) \\ F_2(\mathrm{\mathbf{x}}, a) & (2) \\ \ldots \\ F_n(\mathrm{\mathbf{x}}, a) & (m) \end{array} \right.$$

2. Исследование каждого выражения отдельно

Простейший

$(i):$

$$\large F_i(\mathrm{\mathbf{x}}, a) \iff \begin{cases} \mathrm{\mathbf{x}}=\mathrm{\mathbf{f}}(a) \\ a \in A_F \end{cases}$$

1 решение при $a \in A_F$;

0 решений при $a\in A \backslash A_F$.

Бесконечный

$$\large F_i(\mathrm{\mathbf{x}}, a) ~\Leftrightarrow~ \begin{cases} \mathrm{\mathbf{x}} \in X,~~|X|=\infty\\ a \in A_F \end{cases}$$

$\infty$ решений при $a \in A_F$;

0 решений при $a\in A \backslash A_F$.

Квадратный

$(i):$

$$\large F_i(\mathrm{\mathbf{x}}, a) \iff \begin{cases} \begin{cases} \alpha x_1^2+\beta x_1+\gamma = 0 \\ a \in A_F \\x_j=x_j(a),~~j>1 \end{cases}~~(i.1) \\ f(\mathrm{\mathbf{x}},a)\ne 0 ,~~~D(f)=\R^{n+1} \end{cases}$$

$\alpha x_1^2 + \beta x_1 + \gamma =0$ — линейное уравнение при $\alpha = 0$; квадратное уравнение при $\alpha\ne 0$, $D=\beta^2-4\alpha\gamma$.

$(i.1):$

$\infty$ решений при $\begin{cases} \alpha = 0\\ \beta = 0 \\ \gamma = 0 \\ a\in A_F \end{cases} ~\Leftrightarrow~ a\in A_{\infty}$;

2 решения при $\begin{cases} \alpha \ne 0\\ D>0 \\ a\in A_F \end{cases} ~\Leftrightarrow~ a\in A_{2}$;

1 решение при $\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} \alpha = 0 \\ \beta \ne 0\\ a\in A_F \end{cases}\\ \begin{cases} \alpha\ne 0\\ D=0\\ a\in A_F \end{cases} \end{array} \right. ~\Leftrightarrow~ a\in A_1$;

0 решений при $a\in A \backslash (A_{\infty}\cup A_2 \cup A_1)$.

Найдём $a$, при которых $f(\mathrm{\mathbf{x}},a)=0$:

$\begin{cases} \alpha x_1^2 + \beta x_1 + \gamma = 0\\ a\in A_F\\ x_j = x_j(a) \\ f(\mathrm{\mathbf{x}},a)=0 \end{cases} ~\Leftrightarrow~ (\mathrm{\mathbf{x}},a)\in A_{лишнее}$.

Общий

$(i):$

$$\large F_i(\mathrm{\mathbf{x}},a) \iff \begin{cases} \begin{cases} G(x_1,a)\\ a\in A_F \end{cases}~~(i.1)\\ x_j=x_j(a),~~j>1 \\ f(\mathrm{\mathbf{x}},a)\ne 0,~~~D(f)=\R^{n+1} \end{cases}$$

Выяснить сколько решений имеет $G(x,a)$ при каждом $a\in A_F$.

$(i.1):$

$\hspace{2em} l$ решений при $a\in A_l$.

Найдём $a$, при которых $f(\mathrm{\mathbf{x}},a)=0$:

$\begin{cases} G(x_1,a)\\ a\in A_F \\ x_j=x_j(a) \\ f(\mathrm{\mathbf{x}},a)\ne 0 \end{cases} ~\Leftrightarrow~ (\mathrm{\mathbf{x}},a)\in A_{лишние}$.

3. Поиск попарных совпадений решений

Общие решения $(i)$ и $(j)$:

$$\large \begin{cases} F_i(\mathrm{\mathbf{x}},a) \\ F_j(\mathrm{\mathbf{x}},a) \end{cases} ~\Leftrightarrow~ (\mathrm{\mathbf{x}},a) \in A_{ij}$$

4. Изображение результатов на осях

На $m$ осях $Oa$ подписать количество решений соответствующего выражения. Соединить общие решения. На итоговой оси $Oa$ подписать количество решений.