Степень с целым показателем

Обозначение

$a^m$ — степень с основанием $a$ и показателем $m$; $a$ в степени $m$.

Определение

$a^m$, где $a\ne 0,~m\in\Z$ — это $\begin{cases} a^m &\text{при} ~m>0\\ 1 &\text{при}~m=0\\ \dfrac{1}{a^{-m}} &\text{при}~m<0 \end{cases}$.

Только ненулевое число можно представить в виде степени с целым показателем.

Свойства

В каждом свойстве $a,b\ne 0,~m,n\in\Z$.

1. $a^m \cdot a^{n}=a^{m+n}$

2. $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

3. $a^m \cdot b^m=(a \cdot b)^m$

4. $\dfrac{a^m}{b^m}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^m$

5. $(a^n)^m=(a^m)^n=a^{n \cdot m}$

6. $a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}$

Степень с целым показателем как функция

$$f(x)=x^m,~~m=const,~m\in\Z,~m<0$$

• Область определения $D(f)=\R \backslash \{0\}$;

• Область значений $E(f)=\begin{cases} \R &\text{при нечётном} ~n \\ (0;+\infty) &\text{при чётном}~n \end{cases}$;

• Немонотонная.