Степень с натуральным показателем

Обозначение

$a^n$ — степень с основанием $a$ и показателем $n$; $a$ в степени $n$.

Определение

$a^n$, где $a\in\R,~n\in \N$ — это произведение $\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n~ штук}$.

Любое число можно представить в виде степени с натуральным показателем.

Свойства

В каждом свойстве $a,b\in\R,~m,n\in\N$.

1. $a^n \cdot a^{m}=a^{n+m}$

2. $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$, при $n>m,~a\ne 0$

3. $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$, при $b\neq 0$

5. $(a^n)^m=(a^m)^n=a^{n \cdot m}$

Степень с натуральным показателем как функция

$$f(x) = x^n,~ n \in \N$$

• Область определения $D(f)=\R$;

• Область значений $E(f)=\begin{cases} \R &\text{при} ~n~ \text{нечётном}\\ [0;+\infty) &\text{при}~n~\text{чётном} \end{cases}$;

• При нечётном $n$ возрастает, при чётном $n$ немонотонная.