Полином

Определение

Полином $n$-й степени с одной переменной $x$ — это сумма $a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots +a_nx^n$, где $a_i$ — фиксированные числа, $a_n\ne 0$, $x$ — произвольное число.

Схема горнера и теорема Безу

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_2x^2+a_1x+a_0$

$x$	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$\ldots$	$a_2$	$a_1$	$a_0$
$x_0$	$a_n$	$\small x_0\cdot a_n+a_{n-1}\\=b_{n-2}$	$\small x_0\cdot b_{n-2}+a_{n-2}\\=b_{n-3}$	$\ldots$	$b_1$	$\small x_0\cdot b_1 + a_1\\=b_0$	$\small x_0\cdot b_1+a_0\\=P_n(x_0)$

$P(x)=(x-x_0)\cdot \left( a_n x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+b_{n-3}x^{n-3}+\ldots +b_1x+b_0 \right)+P(x_0)$

Теорема о целых корнях

Если $P(x_0)=0$ и $x_0\in\Z$, то $a_0~\vdots~x_0$.

Разложение на множители

Преобразование суммы в произведение.

4 стандартных способа.

Группировка

$a\cdot b+a\cdot c+d\cdot b+d\cdot c=$

$=(a\cdot b+a\cdot c)+(d\cdot b+d\cdot c)=$

$=a\cdot (b+ c)+d\cdot (b+c)=$

$=(b+c)\cdot (a+d)$.

Формулы сокращённого умножения

1. $(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2$

2. $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

3. $(a \pm b)^3=a^3\pm b^3 \pm 3ab(a\pm b)$

4. $(a\pm b)(a^2 \mp ab +b^2)= a^3 \pm b^3$

Квадратный полином

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, если $x_1,x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Теорема о целых корнях + схема Горнера + теорема Безу

Среди делителей $a_0$ найти число $x_0$ такое, что $P(x_0)=0$.