Логарифм

Обозначения

$\log_a{b}$ — логарифм $b$ по основанию $a$.

$\lg{a}$ — десятичный логарифм $a$.

$\ln{a}$ — натуральный логарифм $a$.

Определения

$\log_a{b}$, где $a>0,~ a\ne 1,~ b>0$ — это число $x$, для которого верно $a^x=b$.

$\lg{a}$, где $a>0$ — это $\log_{10}{a}$.

$\ln{a}$, где $a>0$ — это $\log_e{a}$, где $e$ — число Эйлера.

Любое число может быть записано в виде логарифма с любым допустимым основанием.

Свойства

Все

В каждом свойстве $a,b,c,d>0,~a\ne1$.

1. $b=a^{\log_a{b}}$

2. $\log_a{a}=1$

3. $\log_a{1} = 0$

4. $\log_{a}{b^c}=c \cdot \log_a{b}$

5. $\log_{a^c}{b}=\frac{1}{c} \cdot \log_a{b}$

6. $\log_a{(b \cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}$

7. $\log_a{\left( \dfrac{b}{c} \right)}=\log_a{b}-\log_a{c}$

8. $\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$, при $c\ne 1$

9. $b^{\log_a{c}}=c^{\log_a{b}}$

10. $\log_a{b} \cdot \log_c{d}=\log_a{d} \cdot \log_{c}{b}$, при $c\neq 1$

Сворачивающие

1. $c \cdot \log_a{b}=\log_a{b^c}$; дописать $b>0$ при чётном $c$

2. $\log{a}+\log{b}=\log{(a \cdot b)}$; дописать $a>0$ либо $b>0$

3. $\log{a}-\log{b}=\log{\left(\dfrac{a}{b}\right)}$; дописать $a>0$ либо $b>0$

4. $\frac{1}{c} \cdot \log_a{b}=\log_{a^c}{b}$; дописать $a>0$ при чётном $c$

5. $\log_a{a}=1$; дописать $a>0,~a\ne 1$

6. $\log_a{1}=0$; дописать $a>0,~a\ne 1$

7. $a^{\log_a{b}}=b$; дописать $a>0,~a\ne 1$

8. $\dfrac{\log_c{a}}{\log_c{b}}=\log_b{a}$; дописать $c>0,~c\ne 1$

Разворачивающие

1. $\log_a{b^c}=c \cdot \log_a{b}$; при чётном $c$ проверить $b \geqslant 0$

2. $\log{(a \cdot b)}=\log{a}+\log{b}$; проверить $a\geqslant 0$ либо $b \geqslant 0$

3. $\log{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\log{a}-\log{b}$; проверить $a\geqslant 0$ либо $b \geqslant 0$

4. $\log_{a^c}{b} = \frac{1}{c} \cdot \log_a{b}$; при чётном $c$ проверить $a \geqslant 0$

5. $1=\log_a{a}$; проверить $a>0,~a\ne 1$

6. $0=\log_a{1}$; проверить $a>0,~a\ne 1$

7. $b=a^{\log_a{b}}$; проверить $b>0,~a>0,~a\ne 1$

8. $\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$; проверить $c>0,~c\ne 1$

Логарифм как функция

$$\large f(x)=\log_c{x},~c=const,~c>0,~c\ne 1$$

• Область определения $D(f)=(0;+\infty)$;

• Область значений $E(f)=\Reals$;

• При $c<1$ убывает, при $c>1$ возрастает.