Корень чётной степени

Обозначения

• $\sqrt{a}$ — квадратный корень из $a$.

• $\sqrt[n]{a}$ — корень $n$-й степени из $a$.

Определения

• $\sqrt{a}$, где $a \geqslant 0$ — это число $x \geqslant 0$, для которого верно $x^2=a$.

• $\sqrt[n]{a}$, где $n\in\N,~n~\vdots ~2,~a\geqslant 0$ — это число $x \geqslant 0$, для которого верно $x^n=a$.

Только неотрицательное число может быть представлено в виде корня чётной степени.

Свойства

Все

В каждом свойстве $a,b \geqslant 0,~n~\vdots~2,~m\in\N,~m>1$.

1. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$

2. $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$

3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m \cdot n]{a}$

4. $\left( \sqrt[n]{a} \right)^n=a$

5. $\sqrt[n]{a^n}=|a|$

Сворачивающие

1. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$, дописать $\begin{cases} \text{ничего} &\text{если} ~a>0 \text{ либо } b>0 \\ a,b\geqslant 0 &\text{иначе} \end{cases}$

2. $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$, дописать $\begin{cases} \text{ничего} &\text{если} ~a>0 \text{ либо } b\geqslant 0 \\ a,b\geqslant 0 &\text{иначе} \end{cases}$

3. $f(x) = x * e^{2 pi i \xi x}$$\left( \sqrt[n]{a} \right)^n=a$, дописать $a \geqslant 0$

Разворачивающие

1. $\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, проверить $a>0$ либо $b>0$, либо $a,b \geqslant 0$

2. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, проверить $a>0$ либо $b \geqslant 0$, либо $a,b \geqslant 0$

3. $a=\left(\sqrt[n]{a}\right)^n$, проверить $a \geqslant 0$

Корень чётной степени как функция

$$\large f(x)=\sqrt[n]{x},~n=const,~n\in\N,~n~\vdots ~2$$

• Область определения $D(f)=[0;+\infty)$.

• Область значений $E(f)=[0;+\infty)$.

• Возрастает.