Уравнения

Содержание

Уравнение — выражение вида $a=b$ , где $a,b$ — числовые выражения.

Область допустимых значений переменных в уравнении $D(a)\cap D(b)$ .

$a=b \iff a+c=b+c$ , при $D(a) \cap D(b)=D(a) \cap D(b) \cap D(c)$ .
$a=b \iff a \cdot c =b \cdot c$ , при $c \ne 0,~D(a) \cap D(b)=D(a) \cap D(b) \cap D(c)$ .

\large f(a)=f(b) \iff \begin{cases} a=b \\ a\in D(f) \end{cases}

$f$ — монотонная функция.

$a^n = b^n \iff a=b$ , при нечётном $n>0$

$a^n = b^n \iff \begin{cases} a=b \\ a\ne 0 \end{cases}$ , при нечётном $n<0$

$c^a=c^b \iff a=b$ , при $c=const,~c>0,~c \ne 1$

$\log_c{a}=\log_c{b} \iff \begin{cases} a=b\\a>0 \end{cases}$ , при $c=const,~c>0,~c \neq 1$

$\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{b} \iff a=b$ , при нечётном $n$
$\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{b} \iff \begin{cases} a=b\\a \geqslant 0 \end{cases}$ , при чётном $n$

$a_nx^n+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0=0 \iff a\cdot b=0 \iff \left[ \begin{array}{l} a=0\\b=0 \end{array} \right.$
$a^n=b^n \iff \left[ \begin{array}{l} a=b\\a=-b \end{array} \right.$ , при чётном $n>0$
$ax^2+bx+c=0 \iff \left[ \begin{array}{l} x=x_1 \\ x=x_2 \end{array} \right.$ , при $a\ne 0,~D\geqslant 0$

\large \dfrac{a_1 \cdot a_2 \cdot\ldots\cdot a_n} {b_1 \cdot b_2 \cdot\ldots\cdot b_m}=0 \iff \begin{cases} \mathbf{[}a_i=0\\ \mathrm{\mathbf{x}} \in D(a_i)\\ b_j\ne 0 \end{cases}

$a\cdot b=0 \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} a=0 \\ b\in D(a) \end{cases} \\ \begin{cases} b=0 \\ a\in D(b) \end{cases} \end{array} \right.$
$\dfrac{a}{b}=0 \iff \begin{cases} a=0\\b\ne 0 \end{cases}$

\large \sqrt[n]{a}=b \iff \begin{cases} a=b^n\\b \geqslant 0 \end{cases}

$n$ — чётное число.

\large a_1+a_2 + \ldots + a_n=0 \iff \begin{cases} a_1 = 0 \\ a_2 = 0\\ \ldots \\ a_n=0 \end{cases}

все слагаемые $a_i \geqslant 0$ .

Last updated 8 months ago