Теория вероятностей

Содержание

\large \Omega = \set{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\ldots}

$\Omega$ — множество всевозможных исходов случайного эксперимента.

$\Omega$ может быть как конечным, так и бесконечным множеством.

$P(A)$ — это число из $[0;1]$ , означающее вероятность события $A \subset \Omega$ .

\large P(A) \approx \dfrac{m}{n}

Случайный эксперимент $\Omega$ повторили $n$ раз, в результате чего, событие $A$ появилось $m$ раз.

Число $\dfrac{m}{n}$ — относительная частота события $A$ .

Если все исходы $\Omega$ полагаются равновозможными, то

\large P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}

Если все исходы $\Omega$ полагаются равновозможными, причём $\Omega$ несчётно, то

\large P(A)=\dfrac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}

$\mu$ — мера множества (в одномерном случае длина, в двумерном площадь, в трёхмерном объём).

\large P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)

P(\large A_1 \cap A_2 \cap \ldots\cap A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot\ldots\cdot P(A_n|A_1\cap A_2 \cap \ldots\cap A_{n-1})

\large P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)

\large P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B)

\large P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

$P(A|B)$ — вероятность события $A$ в предположении, что событие $B$ произошло.

\large P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Если $\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$ — разбиение события $A$ , то

\large P(A)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)

Если $\{H_1,H_2,\ldots,H_n\}$ — разбиение $\Omega$ , то

\large P(A)=P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)+\ldots+P(H_n)\cdot P(A|H_n)

\large P(A|B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}

\large P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}

$X$ — количество успехов из $n$ -кратного повторения случайного эксперимента;

$p$ — вероятность успеха в одном эксперименте;

$q = 1-p$ — вероятность неудачи в одном эксперименте.

Last updated 1 month ago