Степень с действительным показателем

Обозначение

aka^k — степень с основанием aa и показателем kk; aa в степени kk.

Определение

aka^k, где a>0, k∈Ra > 0,~k\in\R — это предел последовательности lim⁡n→∞akn\lim\limits_{n\to\infty}{a^{k_n}}, где kn∈Q, lim⁡n→∞kn=kk_n\in\mathbb{Q},~\lim\limits_{n\to\infty}{k_n}=k.

Только положительное число можно представить в виде степени с действительным показателем.

Свойства

В каждом свойстве a,b>0; p,q∈R; n∈Na,b > 0;~p,q\in\mathbb{R};~n\in\mathbb{N}.

  1. ap⋅aq=ap+qa^p \cdot a^q=a^{p+q}

  2. apaq=ap−q\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}

  3. ap⋅bp=(a⋅b)pa^p \cdot b^p=(a \cdot b)^p

  4. apbp=(ab)p\dfrac{a^p}{b^p}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^p

  5. (ap)q=(ap)q=ap⋅q(a^p)^q=(a^p)^q=a^{p \cdot q}

  6. a−p=1apa^{-p}=\dfrac{1}{a^p}

  7. a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}

Степень с действительным показателем как функция

f(x)=cx,  c=const, c>0, c≠1\large f(x)=c^x,~~c=const,~c>0,~c\ne 1

  • Область определения D(f)=RD(f)=\R;

  • Область значений E(f)=(0;+∞)E(f)= (0;+\infty);

  • Возрастает при c>1c>1, убывает при c<1c<1.

PreviousСтепень с рациональным показателемNextКорень

Last updated