Степень с действительным показателем

Обозначение

$a^k$ — степень с основанием $a$ и показателем $k$; $a$ в степени $k$.

Определение

$a^k$, где $a > 0,~k\in\R$ — это предел последовательности $\lim\limits_{n\to\infty}{a^{k_n}}$, где $k_n\in\mathbb{Q},~\lim\limits_{n\to\infty}{k_n}=k$.

Только положительное число можно представить в виде степени с действительным показателем.

Свойства

В каждом свойстве $a,b > 0;~p,q\in\mathbb{R};~n\in\mathbb{N}$.

1. $a^p \cdot a^q=a^{p+q}$

2. $\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$

3. $a^p \cdot b^p=(a \cdot b)^p$

4. $\dfrac{a^p}{b^p}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^p$

5. $(a^p)^q=(a^p)^q=a^{p \cdot q}$

6. $a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$

7. $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Степень с действительным показателем как функция

$$\large f(x)=c^x,~~c=const,~c>0,~c\ne 1$$

• Область определения $D(f)=\R$;

• Область значений $E(f)= (0;+\infty)$;

• Возрастает при $c>1$, убывает при $c<1$.