Трапеция

Определение

$ABCD$ — трапеция ($AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны) $\iff AD\parallel BC,~AB \nparallel CD$.

---

Площадь

$$\large S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot EH.$$

$EH$ — высота трапеции $ABCD$ с основанием $AD \iff E\in BC,~H\in (AD),~EH\perp AD.$

---

Лемма (признак трапеции)

$AD\parallel BC,~AD\ne BC \implies ABCD$ — трапеция.

Доказательство

Пусть $AB\parallel CD$. Тогда $ABCD$ — параллелограмм и $AD=BC$, что не так. Значит $AB\nparallel CD$ и тогда $ABCD$ — трапеция.

---

Средняя линия

Определение

$EF$ — средняя линия трапеции $\iff E$ и $F$ — середины боковых сторон трапеции.

Свойства

1. $EF$ — средняя линия трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC \implies EF\parallel AD,BC$

2. $EF$ — средняя линия трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC \implies EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$.

---

Дополнительные построения