Неравенства

Содержание

• Определение

• Свойства

• Метод интервалов

• Неравенство функций

• Метод рационализации

Определение

Неравенство — выражение вида $a\vee b$, где $\vee \in \{<;>;\leqslant;\geqslant\}$.

---

Свойства

1. $a \vee b \iff a+c \vee b+c$, при $D(a)\cap D(b)=D(a)\cap D(b) \cap D(c)$.

2. $a\vee b \iff a \cdot c \vee b \cdot c$, при $c>0,~D(a)\cap D(b)=D(a)\cap D(b) \cap D(c)$.

3. $a\vee b \iff a \cdot c \land b \cdot c$, при $c<0,~D(a)\cap D(b)=D(a)\cap D(b) \cap D(c)$.

---

Метод интервалов

$$\large\dfrac{(x-a_1)(x-a_2)\ldots (x-a_n)} {(x-b_1)(x-b_2)\ldots (x-b_m)} \vee 0$$

1. На оси $Ox$ отметить выколотыми точки $a_i,~b_j$.

2. Если $\vee\in \{\leqslant;\geqslant\}$, то точки $a_i \neq b_j$ нужно закрасить.

3. Над точками, взятыми из скобок, которые повторяются чётное число раз нужно поставить стрелку вверх.

4. Из правого верхнего угла провести кривую знакопостоянства, которая проходит через точки без стрелок и отражается от точек со стрелками.

5. Там где кривая над $Ox$ ставится знак $+$, под $Ox$ ставится $-$.

6. Выписывается совокупность уравнений и/или неравенств, удовлетворяющих знаку $\vee$.

---

Неравенство функций

1. $f(a) \vee f(b) \iff \begin{cases} a \vee b \\ a,b \in D(f) \end{cases}$, при возрастающей $f$

2. $f(a) \vee f(b) \iff \begin{cases} a \land b \\ a,b \in D(f) \end{cases}$, при убывающей $f$

Показательные

1. $c^a \vee c^b \iff a \vee b$, при $c=const,~c>1$

2. $c^a \vee c^b \iff a \land b$, при $c=const,~0<c<1$

Логарифмические

1. $\log_c{a} \vee \log_c{b} \iff \begin{cases} a \vee b \\ \min{(a,b)>0} \end{cases}$, при $c=const,~c>1$

2. $\log_c{a} \vee \log_c{b} \iff \begin{cases} a \land b \\ \min{(a,b)>0} \end{cases}$, при $c=const,~0<c<1$

Иррациональные

1. $\sqrt[n]{a} \vee \sqrt[n]{b} \iff a \vee b$, при нечётном $n$

2. $\sqrt[n]{a}\vee\sqrt[n]{b} \iff \begin{cases} a \vee b \\ \min{(a,b)}\geqslant 0 \end{cases}$, при чётном $n$

---

Метод рационализации

1. $c \cdot (f(a)-f(b))^n \vee 0 \iff \begin{cases} c \cdot (a-b)^n \vee 0\\ a,b \in D(f) \end{cases}$, при возрастающей $f$

2. $c \cdot (f(a)-f(b))^n \vee 0 \iff \begin{cases} c \cdot (b-a)^n \vee 0\\ a,b \in D(f) \end{cases}$, при убывающей $f$