«Антиравенства»

Содержание

• Определение

• Свойства

• «Антиравенство» функций

• Произведение

Определение

«Антиравенство» — выражение вида $a\ne b$, где $a,b$ — числовые выражения.

Область допустимых значений переменных в «антиравенстве»$D(a)\cap D(b)$.

---

Свойства

1. $a\ne b \iff a+c\ne b+c$, при $D(a) \cap D(b)=D(a) \cap D(b) \cap D(c)$.

2. $a\ne b \iff a \cdot c \ne b \cdot c$, при $c \ne 0,~D(a) \cap D(b)=D(a) \cap D(b) \cap D(c)$.

---

«Антиравенство» функций

$$\large f(a)\ne f(b)\iff\begin{cases} a\ne b \\ a\in D(f) \\ b\in D(f) \end{cases}$$

$f$ — монотонная функция.

Степенные

$a^n\ne b^n \iff a \ne b$, при нечетном $n>0$

Показательные

$c^a\ne c^b \iff a\ne b$, при $c=const,~c>0,~c \ne 1$

Логарифмические

$\log_c{a}\ne \log_c{b} \iff \begin{cases} a\ne b\\a>0\\b>0 \end{cases}$, при $c=const,~c>0,~c \neq 1$

Иррациональные

1. $\sqrt[n]{a}\ne\sqrt[n]{b} \iff a\ne b$, при нечётном $n$

2. $\sqrt[n]{a}\ne\sqrt[n]{b} \iff \begin{cases} a\ne b\\a \geqslant 0\\b\geqslant 0 \end{cases}$, при чётном $n$

---

Произведение $\ne 0$

$$\large \dfrac{a_1 \cdot a_2 \cdot\ldots\cdot a_n} {b_1 \cdot b_2 \cdot\ldots\cdot b_m}\ne 0 \iff \begin{cases} a_i\ne 0\\ b_j\ne 0 \end{cases}$$