Замена

Вспомогательный метод решения задач с параметром, использующийся для упрощения алгебраических конструкций или приведения задачи к определённому методу решения.

Замена для преобразований

$$\large F(\mathrm{\mathbf{x}},a,f(\mathrm{\mathbf{x}},a)) ~\overset{t=f(\mathrm{\mathbf{x}},a)}{\iff}~ F(\mathrm{\mathbf{x}},a,t)$$

Обратная замена выполняется после преобразований.

Переход к новой неизвестной

$$\large F(f(x,a),a);\\ \text{замена } t=f(x,a)\\ F(t,a)$$

Множество t	Количество решений x
$T_1$	$k_1$
$T_2$	$k_2$
$\ldots$	$\ldots$
$T_n$	$k_n$

$\{T_1,T_2,\ldots,T_n\}$ — разбиение $\R$.

Обратная замена не выполняется.

Замена параметра

$$\large F(\mathrm{\mathbf{x}}, f(a)) ~\overset{b=f(a)}{\iff}~ F(\mathrm{\mathbf{x}},b)$$

Обратная замена выполняется после решения задачи для нового параметра.

Добавление/исключение неизвестной

$$\large F(\mathrm{\mathbf{x}},f(\mathrm{\mathbf{x}},a),a);~~~~ \begin{cases} F(\mathrm{\mathbf{x}},y,a)\\ y=f(\mathrm{\mathbf{x}},a) \end{cases}$$

Переход неравносильный. Сохраняется только количество решений.

Обратная замена не выполняется.