Симметрия

Метод решения задач с параметром, в которых решения существуют только группами, то есть существование одного решения порождает существование симметричных решений.

Постановка задачи

Найти все значения параметра $a\in A$, при каждом из которых выражение

$$\large F(\mathrm{\mathbf{x}},a)$$

имеет $k\in K$ различных решений.

Решение

1. Поиск полной группы решений

Если $\mathrm{\mathbf{x}}$ — решение, то $\mathrm{\mathbf{s}}_2(\mathrm{\mathbf{x}}), \mathrm{\mathbf{s}}_3(\mathrm{\mathbf{x}}), \ldots,\mathrm{\mathbf{s}}_m(\mathrm{\mathbf{x}})$ — тоже решения, так как

$$\large F(\mathrm{\mathbf{s}}_i(\mathrm{\mathbf{x}}),a)\iff F(\mathrm{\mathbf{x}}, a)$$

Если решения существуют, то группами по $m$ вида $\{\mathrm{\mathbf{x}}, \mathrm{\mathbf{s}}_2(\mathrm{\mathbf{x}}), \ldots,\mathrm{\mathbf{s}}_m(\mathrm{\mathbf{x}})\}$.

2. Проверка применимости симметрии

Требуется $k\in K$ решений, а в группе $m$ решений и $k \not\vdots ~m$ при любом $k\in K$, значит какие-то решения в группе совпадают.

3. Совпадения решений

$\begin{cases} F(\mathrm{\mathbf{x}},a)\\ \mathrm{\mathbf{x}}=\mathrm{\mathbf{s}}_i(\mathrm{\mathbf{x}}) \end{cases} \Rightarrow ~a\in A_i$.

4. Проверка

При каждом найденном $a$ решить $F(\mathrm{\mathbf{x}},a)$ и проверить количество решений.